048 | Stapelformule

Wie het belang van wiskunde onder leerlingen wil aantonen, kan het volgende vraagstuk introduceren:

Wouter ziet in het bos een flinke hoeveelheid opgestapelde boomstammen. De stammen zijn ongeveer even dik en liggen systematisch op elkaar (zoals op de afbeelding). Hoe kan Wouter makkelijk uitrekenen hoeveel stammen de stapel telt dus zonder ze één voor één te tellen?

De stelling die we dus tevens neerleggen is: 'Wiskunde spaart tijd en vermoeiend telwerk'

Het is de bedoeling dat de kinderen naar een systeem zoeken. Al vrij snel zullen enkele rekenaars de eerste schetsen uittekenen. Wellicht ook zoals hierboven in de afbeelding. Zien de kinderen dat je telkens van de onderste stammen uit kunt gaan als startgetal? Twee stammen onderop leidt tot een stapel van totaal drie stammen, dus 2 = 3. Bij een stapel van drie stammen onderop wordt het totaal 6, dus 3 erbij. Na een aantal tekeningen wordt het volgende zichtbaar: 2 = 3, 3 = 6, 4 = 10, 5 = 15, etc. Wanneer je naar de berekening (kinderen zullen de stammen nog steeds tellen bij deze uitwerkingen) In onze berekening hierboven (groene figuur) zien we het systeem van + 3, + 4, + 5, + 6, etc. Wanneer je de onderste stapel met 1 stam verbreedt, komt er in het totaal het aantal stammen van de onderste rij + 1 extra bij.

Wie van de rekenaars is in staat om dit in een formule om te zetten? Er zijn meerdere mogelijkheden. In de uitwerking (blauwe figuur) zien we een mogelijke oplossing. Hierbij is ook uitgegaan dat de pyramidevorm van de opgestapelde stammen eigenlijk ook (bijna) de helft is van een vierkante vorm. Hier is 'a' het aantal stammen op de onderste rij. Bij twee stammen onderop wordt de som: (2 + 1) x 2 en dit gedeelte door 2 = 3 stammen. Bij drie stammen onderop wordt de som: (3 + 1) x 2 gedeelte door 2 = 6. De wat betere rekenaars uit groep 7 en 8 zijn al in staat om vanuit de hierboven afgebeelde berekening in de groene figuur te komen tot een formule die 'waterdicht' is. Test iedereen zijn of haar formule ook grondig? Sommige trucjes of formules werken beperkt maar er zijn zoals gezegd meerdere wegen die naar Rome leiden. Sommige rekenaars zullen wellicht met de onderste berekening komen: Bij twee onderste boomstammen: 2 x 2 = 4 - 1 = 3 (klopt) Bij drie onderste stammen: 3 x 3 = 9 - 3 (vorige uitkomst!) = 6 (klopt) Bij vier stammen onderop: 4 x 4 = 16 - 6 (vorige uitkomst!) = 10 (klopt!).

Hoe dan ook. Deze opgave zal ongetwijfeld tot een zeer enthousiast gepuzzel en geteken leiden. Degene die gestructureerd werkt en geduldig tekent en rekent, zal het meeste succes ervaren. Uit ervaring (deze les is getest in meerdere groepen 7 en 8) weten we dat het nogal eens voorkomt dat de beste formule nogal eens uit de groep van 'gemiddelde rekenaars' komt. Wellicht zorgt deze les bij jou ook voor de nodige verrassingen...